Voici le tout premier article co-écrit avec Marie !

Tout a commencé quand j’ai vu ma fille Marie, 4 ans, dessiner des étoiles à 4 branches. J’ai voulu généraliser le processus et dessiner des étoiles à $N$ branches.

J’ai ainsi calculé les coordonnées des points de l’étoile. Marie a choisi l’épaisseur du trait, ses couleurs ainsi que les paramètres de vitesse.

Pour construire notre étoile, nous partons de deux cercles concentriques de rayon $r_1$ et $r_2$ ($r_2 \leq r_1$). Sur le cercle externe, nous disposons $N$ points équirépartis, c’est-à-dire séparés par une ouverture angulaire de $\theta = 2\pi/N$, qui seront les pointes de l’étoile. Nous disposons de même $N$ points équirépartis sur le cercle interne mais avec un déphasage supplémentaire de $\theta/2 = \pi/N$.

Pour les pointes de l’étoile, nous avons ainsi :

\[\left\{ \begin{align} x_k &= r_1 \cdot \cos (k \times \theta)\\ y_k &= r_1 \cdot \sin (k \times \theta)\\ \end{align}\right.\]

Et pour les “creux” :

\[\left\{ \begin{align} x_k &= r_2 \cdot \cos (k \times \theta + \theta/2)\\ y_k &= r_2 \cdot \sin (k \times \theta + \theta/2)\\ \end{align}\right.\]

Nous avons également rajouté un déphasage qui augmente avec le temps afin de faire tourner l’étoile sur elle-même.

Dans l’animation ci-dessous :

  • les touches a et z du clavier changent le rayon interne de l’étoile
  • les touches q et s du clavier changent le nombre de branches
  • les touches w et x du clavier changent la vitesse de rotation

En jouant avec les paramètres de l’étoile, nous avons pu reconstruire :

  • un triangle, pour $N=3$ et un ratio $r_2/r_1$ adapté
  • un carré, pour $N=4$ et un ratio $r_2/r_1$ adapté
  • un pentagone, un hexagone, un octogone
  • un rond (approché) lorsque $N$ est grand et que $r_1 = r_2$

Y-arriverez-vous de votre côté ?